پرش بـه ناوبری پرش بـه جستجو

نگارهٔ یک کره.

کُره (Sphere) یـا گوی یک جسم هندسی کاملاً گرد درون فضای سه بعدی است. کره با توپ به منظور نمونـه توپ یک کره‌است. کره با توپ کره مانند دایره کـه در دو بعد است، کره با توپ درون فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن درون گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی کـه بر سطح کره جای دارند درون فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده مـی‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز مـی‌گذرد و درنتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.

حجم کره

در سه بُعد، حجم درون یک کره از رابطهٔ زیر بدست مـی‌آید:

V=43πr3{\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

که درون این رابطه، r شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمـیدس بدست آورد. او نشان داد کـه حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانـهٔ محیطی آن کره‌است.

در ریـاضیـات امروزی حجم کره با کمک انتگرال‌گیری بدست مـی‌آید.

محاسبهٔ حجم کره با کمک مفهوم انتگرال

نیم کرهٔ مورد بحث

نخست حجم نیم کره را بدست مـی‌آوریم و چون کره متقارن هست حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره مـی‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیـار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را مـی‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور yها قرار دارد درنتیجه دیسکی کـه بر روی نقطهٔ h = ۰ قرار دارد، شعاعی برابر با r دارد (s = r) و دیسکی کـه در نقطهٔ h = r قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (s = ۰).

اگر ضخامت دیسک‌ها درون هر نقطهٔ دلخواه h، برابر با δh باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک درون ضخامت آن:

δV≈πs2⋅δh.{\displaystyle \!\delta V\approx \pi s^{2}\cdot \delta h.}

پس حجم کل نیم کره برابر هست با مجموع حجم دیسک‌ها:

V≈∑πs2⋅δh.{\displaystyle \!V\approx \sum \pi s^{2}\cdot \delta h.}

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیـار کوچزدیک بـه صفر[۱] است. درنتیجه به منظور بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها حتما از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

V=∫0rπs2dh.{\displaystyle \!V=\int _{0}^{r}\pi s^{2}dh.}

با توجه بـه قضیـه فیثاغورس مـی‌دانیم کـه در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

r2=s2+h2{\displaystyle \!r^{2}=s^{2}+h^{2}}

پس بـه جای s2{\displaystyle s^{2}} از رابطهٔ زیر کـه تابعی از مقدار h2{\displaystyle h^{2}} هست استفاده مـی‌کنیم:

r2−h2=s2{\displaystyle \!r^{2}-h^{2}=s^{2}}

مقدار تازهٔ s2{\displaystyle s^{2}} را درون انتگرال جایگذاری مـی‌کنیم:

V=∫0rπ(r2−h2)dh.{\displaystyle \!V=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-h^{2})dh.}

مقدار انتگرال برابر هست با:

V=π[r2h−h33]0r=π(r3−r33)−π(03−033)=23πr3.{\displaystyle \!V=\pi \left[r^{2}h-{\frac {h^{3}}{3}}\right]_{0}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(0^{3}-{\frac {0^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}.}

حجم نیمـی از کره برابر با V=23πr3{\displaystyle \!V={\frac {2}{3}}\pi r^{3}} هست پس حجم کل کره مـی‌شود:

V=43πr3.{\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

حجم کره درون دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه هست که درون آن حالت حتما از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

dV=r2sin⁡θdrdθdφ{\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }


مساحت کره

مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست مـی‌آید:

A=4πr2.{\displaystyle \!A=4\pi r^{2}.}

ارشمـیدس نخستینی بود کـه توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت بـه r، شعاع کره، مساحت کره را بدست مـی‌دهد. مـی‌توان این گونـه تصور کرد کـه حجم یک کره برابر هست با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز کـه شعاع آن‌ها از ۰ که تا r مـی‌تواند متفاوت باشد. درنتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با δV، ضخامت هر پوسته را با δr و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع r با A(r) نمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر مـیان این متغیرها برقرار خواهد بود:

δV≈A(r)⋅δr{\displaystyle \delta V\approx A(r)\cdot \delta r\,}

حجم کل برابر هست با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

V≈∑A(r)⋅δr{\displaystyle V\approx \sum A(r)\cdot \delta r}

هنگامـی کـه δr بـه سمت صفر مـیل مـی‌کند[۱] حتما از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

V=∫0rA(r)dr{\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr}

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، بعد خواهیم داشت:

43πr3=∫0rA(r)dr{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr}

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق مـی‌گیریم:

4πr2=A(r){\displaystyle \!4\pi r^{2}=A(r)}

که درون حالت عمومـی بـه صورت زیر نوشته مـی‌شود:

A=4πr2{\displaystyle \!A=4\pi r^{2}}

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح بـه صورت dA=r2sin⁡θdθdϕ{\displaystyle dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi } و در دستگاه مختصات دکارتی بـه صورت dS=rr2−∑i≠kxi2Πi≠kdxi,∀k{\displaystyle dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-\sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}\Pi _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k} بدست مـی‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح درون تمام سطح کره بدست مـی‌آید:

A=∫02π∫0πr2sin⁡θdθdϕ=4πr2.{\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi =4\pi r^{2}.}

منابع

  • ↑ ۱٫۰۱٫۱ Pages 141, 149. E.J. Borowski, J.M. Borwein. Collins Dictionary of Mathematics. ISBN 0-00-434347-6.
    • در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ کره (هندسه) موجود است.
    داده‌های کتابخانـه‌ای
    • GND: 4165914-4
    برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=کره_(هندسه)&oldid=24438724»



    [کره (هندسه) - ویکی‌پدیـا، دانشنامـهٔ آزاد کره با توپ]

    نویسنده و منبع | تاریخ انتشار: Sun, 23 Sep 2018 04:57:00 +0000