توابع مثلثاتی - ویکی‌پدیـا، دانشنامـهٔ آزاد

در ریـاضیـات، نام چند بنای تاریخی که در ساخت ان از تقارن استفاده منظور از توابع مثلثاتی شش تابع سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت هست که این توابع رابطهٔ مـیان زاویـه‌ها و ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویـه را نشان مـی‌دهند و به همـین دلیل توابع مثلثاتی نامـیده مـی‌شوند. قدمت اولین متن‌های بـه جا مانده از توابع مثلثاتی بـه دوران پیش از مـیلاد درون مصر و یونان بازمـی‌گردد. نام چند بنای تاریخی که در ساخت ان از تقارن استفاده قضیـهٔ تالس توسط تالس درون سدهٔ ششم پیش از مـیلاد درون مصر مطرح شد، همچنین از قضیـهٔ فیثاغورس بـه عنوان سنگ بنای مثلثات یـاد مـی‌شود. علاوه بر مصر و یونان، کشورهای دیگری از جمله چین، هند، کشورهای اسلامـی و کشورهای اروپایی پیشبردهای مطرحی درون زمـینـه مثلثات داشتند کـه مـی‌توان بـه افرادی چون خوارزمـی، بتانی، ابوالوفا محمد بوزجانی، شن کو، گو شوجینگ و رتیکوس اشاره کرد.

تعاریف متفاوتی از توابع مثلثاتی بیـان شده‌است، ساده‌ترین آن‌ها بر پایـهٔ دایرهٔ واحد هست که درون این تعریف دایره‌ای با شعاع ۱ ترسیم مـی‌شود و شعاعی با زاویـهٔ مشخص نسبت بـه محور افقی روی آن رسم شده و یک مثلث را تشکیل مـی‌دهد. نام چند بنای تاریخی که در ساخت ان از تقارن استفاده هر یک از توابع مثلثاتی را مـی‌توان با پاره‌خطی درون این دایره نشان داد. تعاریف دیگری از توابع مثلثاتی نیز بر پایـهٔ انتگرال، سری توانی و معادلهٔ دیفرانسیل بیـان شده‌است کـه هر یک از آن‌ها کاربرد خاص خود را دارند. به منظور نمونـه درون تعریف بر پایـهٔ سری توانی، از سری مکلورن استفاده مـی‌شود کـه در محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها توابع مثلثاتی استفاده فراوان دارد.

توابع مثلثاتی بر روی یک زاویـه عملیـات انجام مـی‌دهند و یک عدد حقیقی را برمـی‌گردانند و هر یک از آن‌ها ویژگی‌های خاص خود را دارند، از جمله زوج یـا فرد بودن، متناوب بودن، پیوسته بودن، متعامد بودن. کاربرد اصلی این تابع‌ها درون محاسبهٔ اندازهٔ ضلع‌ها و زاویـه‌های یک مثلث و سایر عوامل مرتبط با آن‌ها است. این کاربرد، درون دانش‌های مختلفی مانند نقشـه‌برداری، ناوبری و زمـینـه‌های گوناگون فیزیک مورد استفاده قرار مـی‌گیرد. درون نقشـه‌برداری، با استفاده از اندازه‌گیری زاویـهٔ یک نقطه نسبت بـه دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه مـی‌کنند کـه امروزه از این روش به منظور اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده مـی‌شود یـا درون ناوبری، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایـهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریـایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام مـی‌شود. هم‌چنین بـه علت خاصیت تناوبی بودن این تابع‌ها، از آن‌ها درون مدل‌سازی فرایندهای نوسانی مانند نور و موج استفاده مـی‌شود. به منظور نمونـه قانون اسنل بنیـادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی هست که درون پدیدهٔ شکست نور بـه کار مـی‌رود. از دیگر کاربردهای توابع مثلثاتی مـی‌توان بـه استفاده آن درون صنعت برق و مخابرات اشاره کرد. از جمله کاربرد امواج سینوسی درون جریـان‌های متناوب و همچنین انواع مدولاسیون کـه برپایـه همـین امواج سینوسی انجام مـی‌شود.

تاریخچه

شواهد بـه کار‌گیری توابع مثلثاتی درون زمـینـه‌های گوناگون، بـه ویژه درون نجوم، درون بسیـاری از متون بـه جا مانده از دوران پیش از مـیلاد از جمله درون یونان و مصر وجود دارد. یکی از کهن‌ترین مطالب مرتبط با مثلثات کـه در متون تاریخی بیـان شده، قضیـه تالس است. تالس کـه در سده ششم پیش از مـیلاد درون مصر تحصیل مـی‌کرد، به منظور حل مسئلهٔ محاسبهٔ ارتفاع هرم خئوپس، روشی تازه را ارائه نمود کـه بعداً با عنوان قضیـه تالس شناخته شد. مـی‌توان قضیـهٔ فیثاغورس را سنگ بنای مثلثات دانست.[۱] درون بسیـاری از متون یونان باستان، کاربردهای مثلثات مورد توجه قرار گرفته‌اند. ابرخس، نخستین جدول مثلثاتی را ایجاد نمود و به همـین دلیل، او را پدر مثلثات مـی‌نامند. منلائوس مثلثات کروی را پایـه‌گذاری کرد.[۲]بطلمـیوس درون المجسطی، رابطهٔ سینوس وینوس مجموع و تفاضل دو زاویـه را بیـان کرد.[۳]

مطالعه درون زمـینـهٔ توابع مثلثاتی درون هند نیز رواج داشته‌است. از جمله، درون کتاب سوریـا سیدهانتا درون سدهٔ چهارم مـیلادی از جدول سینوس بـه جای جدول وتری درون نجوم استفاده شده‌است.[۴] هم‌چنین بـه نظر مـی‌رسد کـه نام‌های سینوس وینوس، تغییر یـافتهٔ توابع جیـا و کوتیجیـا درون نجوم دوره گوپتای هند باشند. مدهاوه درون سدهٔ چهاردهم سری تیلور تابع‌های سینوس،ینوس و تانژانت را بـه دست آورد.[۲]

دوران طلایی اسلام، تأثیر قابل توجهی بر پیشرفت علوم ریـاضی و از جملهٔ آن‌ها مثلثات داشت. خوارزمـی، جدول‌های نجومـی و مثلثاتی (مربوط بـه سینوس و تانژانت) را تهیـه کرد.[۵]مروزی جدول کتانژانت را تهیـه کرد. درون آثار بتانی درون سدهٔ سوم شمسی (سدهٔ نـهم مـیلادی)، مثلثات به‌طور وسیعی بـه کار رفته‌است کـه از جمله مـی‌توان بـه جدولکانت اشاره کرد. ابوالوفا محمد بوزجانی درون سدهٔ چهارم شمسی (سدهٔ دهم مـیلادی)، قانون سینوس‌ها را بـه دست آورد.[۶]ابوریحان بیرونی مثلث‌سازی را به منظور تهیـهٔ نقشـه بـه کار گرفت. درون پایـان سدهٔ یـازدهم، عمر خیـام معادلات درجهٔ سوم را با حل عددی تقریبی کـه از درونیـابی جداول مثلثاتی بـه دست مـی‌آمد، حل کرد. هم‌چنین غیـاث‌الدین جمشید کاشانی درون سدهٔ پانزدهم مـیلادی، سینوس زاویـهٔ °۱ را با حل معادلهٔ درجهٔ ۳ برحسب زاویـهٔ °۳ که تا ۱۷ رقم اعشار محاسبه کرد.[۷]

دانشمندان چینی چندان بـه مطالعهٔ مثلثات نمـی‌پرداختند. دو ریـاضی‌دان چینی با نام شن کو و گو شوجینگ مطالعاتی را درون زمـینـه توابع مثلثاتی انجام دادند. به منظور نمونـه، شن کو یک رابطهٔ تقریبی به منظور محاسبهٔ طول کمان برحسب قطر دایره، زه و طول وتر بـه دست آورد.[۸]

احتمالاً رتیکوس نخستین شخص اروپایی بود کـه در سدهٔ شانزدهم مـیلادی، توابع مثلثاتی را بـه جای دایره برحسب زاویـهٔ قائمـه تعریف کرد و جدول‌های هر شش تابع را تهیـه نمود. مقالهٔ اویلر درون ۱۷۴۸ مـیلادی بـه عنوان پایـه‌گذار اصلی رفتار تحلیلی با توابع مثلثاتی درون اروپا دانسته مـی‌شود. اویلر توابع مثلثاتی را بـه صورت سری نامتناهی تعریف کرد و فرمول اویلر را ارائه نمود.[۲]

نام‌گذاری

در متون سانسکریت، از نام‌های جیوا (به معنی وتر) و کوجیوا به منظور نام‌گذاری دو تابع اصلی مثلثاتی (سینوس وینوس) استفاده مـی‌شد. درون برگرداندن بـه زبان عربی، جیوا بـه جیب تبدیل شد[۲] کـه البته درون فارسی هم مورد استفاده قرار گرفت.[۹] دانشمندان مسلمان، سایر توابع مثلثاتی را نیز مـی‌شناختند و آن‌ها را نام‌گذاری کرده‌بودند. جدول زیر، نام‌های بـه کار رفته به منظور توابع مثلثاتی درون متون دانشمندان مسلمان را نشان مـی‌دهد:[۱۰]

نام قدیم درون فارسی معنی نام نام امروزی جَیْب گریبان سینوس جَیْبِ تمام گریبان پُر کُسینوس ظِلّ، ظِلِّ معکوس سایـه تانژانت ظِلِّ تمام، ظِلِّ مُسْتَوی سایـهٔ پُر کُتانژانت قاطع، قطر ظِلّ بُرنده سِکانت قاطع تمام بُرندهٔ پُر کُسکانت

دانشمندان اروپایی کـه متن‌های عربی را بـه لاتین ترجمـه مـی‌د، جیب را بـه صورت جَیب مـی‌خواندند (که بـه معنی خلیج است). بنابراین آن را بـه سینوس (که واژه‌ای لاتینی بـه معنی خلیج است) برگرداندند.[۲]

تعریف بر پایـهٔ مثلث قائم‌الزاویـه

شکل روبرو، یک مثلث قائم‌الزاویـه را نشان مـی‌دهد کـه از سه ضلع a و b و c و زاویـه‌های A و B و C تشکیل شده‌است. زاویـهٔ C برابر ۹۰ درجه هست و دو زاویـهٔ دیگر، زاویـهٔ تند و متمم هستند، بـه عبارت دیگر، مجموع دو زاویـه برابر ۹۰ درجه است. ضلع روبرو بـه زاویـهٔ C را وتر مـی‌نامند (که درون شکل روبرو با نماد c نشان داده شده‌است). دو ضلع دیگر کـه زاویـهٔ قائمـه را تشکیل مـی‌دهند نیز شامل ضلع مجاور زاویـهٔ A (و مقابل زاویـهٔ B کـه با حرف b نشان داده مـی‌شود) و ضلع مقابل زاویـهٔ A (و مجاور زاویـهٔ B کـه با حرف a نشان داده مـی‌شود) هستند. بـه این ترتیب، توابع اصلی مثلثاتی به منظور زاویـهٔ A بـه صورت زیر تعریف مـی‌شوند:[۱۱][۱۲]

• سینوس زاویـهٔ A برابر هست با نسبت ضلع مقابل آن بـه وتر. بـه بیـان ریـاضی:

• کسینوس زاویـهٔ A برابر هست با نسبت ضلع مجاور آن بـه وتر. بـه بیـان ریـاضی:

• تانژانت زاویـهٔ A نیز بـه صورت نسبت ضلع مقابل بـه ضلع مجاور این زاویـه محاسبه مـی‌شود:

بر پایـه قضیـهٔ تشابه هندسی، اگر دو مثلث دارای زاویـه‌های برابر باشند، نسبت ضلع‌هایشان با یکدیگر برابر است. درون نتیجه، توابع مثلثاتی کـه نسبت مـیان ضلع‌های مثلث را نشان مـی‌دهند، وابسته بـه اندازهٔ ضلع‌ها نیستند و مقدار آن‌ها با تغییر اندازهٔ ضلع‌ها تغییر نمـی‌کند.

مـی‌توان به منظور زاویـهٔ B نیز توابع مثلثاتی را بـه همـین ترتیب محاسبه نمود. ضلع مجاور زاویـهٔ B (ضلع a) همان ضلع مقابل زاویـهٔ A هست و ضلع مقابل زاویـهٔ B (ضلع b) نیز ضلع مجاور زاویـهٔ A مـی‌باشد؛ بنابراین مـی‌توان چنین گفت کـه سینوس زاویـهٔ B برابر باینوس زاویـهٔ A هست و برعکس. رابطه سینوس وینوس دو زاویـهٔ متمم بـه زبان ریـاضی، بـه صورت زیر است:

با افزایش مقدار زاویـهٔ A از صفر که تا ۹۰ درجه، بـه تدریج اندازهٔ ضلع مجاور آن کاهش و اندازهٔ ضلع مقابل، افزایش مـی‌یـابد. هنگامـی کـه این مقدار بـه ۹۰ درجه نزدیک شود، مقدار ضلع مجاور بـه صفر نزدیک مـی‌شود. درون نتیجهینوس زاویـهٔ A (نسبت ضلع مجاور بـه وتر) بـه صفر مـیل مـی‌کند. از سوی دیگر، مقدار ضلع مقابل بـه وتر نزدیک مـی‌شود. (البته بر پایـهٔ قضیـهٔ فیثاغورس، وتر همواره از دو ضلع دیگر بزرگ‌تر است) درون نتیجه، سینوس زاویـهٔ A (نسبت ضلع مقابل بـه وتر) بـه ۱ مـیل مـی‌کند. به‌طور کلی، مقدار سینوس وینوس یک زاویـه درون مثلث قائم‌الزاویـه، عددی درون بازه صفر و یک است. تغییرات تانژانت زاویـهٔ A را نیز بـه همـین ترتیب مـی‌توان دنبال کرد. درون نزدیکی ۹۰ درجه، تانژانت A (که نسبت سینوس بهینوس زاویـهٔ A است) بـه سمت بی‌نـهایت مـیل مـی‌کند و با نزدیک شدن بـه صفر، مقدار آن بـه صفر نزدیک مـی‌شود؛ بنابراین مقدار تانژانت یک زاویـه، عددی مثبت (از صفر که تا بی‌نـهایت) خواهد بود.

سه تابع دیگر مثلثاتی را مـی‌توان بـه عنوان عسه تابع بالا تعریف نمود:

سکانت (معکوسینوس): کسکانت (معسینوس): کتانژانت (معتانژانت):

رابطه مـیان دو زاویـهٔ متمم، مانند آنچه کـه بالاتر درون مورد سینوس وینوس گفته شد، درون مورد سایر توابع مثلثاتی نیز برقرار است.

به‌طور خلاصه، رابطهٔ مـیان توابع مثلثاتی و ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویـه را مـی‌توان درون جدول زیر نشان داد:[۱۳]

نام تعریف رابطه سینوس سینوس یک زاویـه برابر هست با نسبت ضلع مقابل آن زاویـه بـه وتر sinA = ضلع مقابلوتر کسینوس کسینوس یک زاویـه برابر هست با نسبت ضلع مجاور آن زاویـه بـه وتر cosA = ضلع مجاوروتر تانژانت تانژانت یک زاویـه برابر هست با نسبت ضلع مقابل آن زاویـه بـه ضلع مجاور tanA = ضلع مقابلضلع مجاور کتانژانت کتانژانت یک زاویـه برابر هست با نسبت ضلع مجاور آن زاویـه بـه ضلع مقابل (عتانزانت) cotA = ضلع مجاورضلع مقابل سکانت سکانت یک زاویـه برابر هست با نسبت وتر بـه ضلع مجاور آن زاویـه (عکسینوس) secA = وترضلع مجاور کسکانت کسکانت یک زاویـه برابر هست با نسبت وتر بـه ضلع مقابل آن زاویـه (عسینوس) cscA = وترضلع مقابل

مقدار توابع مثلثاتی به منظور زاویـه‌های خاص

برای بعضی زاویـه‌ها مـی‌توان بـه سادگی مقدار توابع مثلثاتی را بـه دست آورد.[۱۴][۱۵]

در زاویـهٔ صفر، سینوس برابر صفر وینوس برابر ۱ است. عآن درون زاویـهٔ ۹۰ درجه،ینوس صفر و سینوس ۱ مـی‌باشد؛ بنابراین:

مثلث قائم‌الزاویـه‌ای کـه یک زاویـهٔ °۴۵ داشته باشد، زاویـهٔ تند دیگر آن نیز °۴۵ هست و مثلث قائم‌الزاویـهٔ متساوی‌الساقین نامـیده مـی‌شود. درون این مثلث، بر پایـه قضیـهٔ فیثاغورس اندازه وتر، ۲√ برابر اندازهٔ هر یک از دو ساق است؛ بنابراین:

با استفاده از ویژگی‌های مثلث متساوی‌الاضلاع (شکل روبرو) مـی‌توان نشان داد کـه ضلع روبرو بـه زاویـهٔ °۳۰، نصف وتر است؛ بنابراین:

به همـین ترتیب، اندازهٔ ضلع دیگر نیز با استفاده از قضیـهٔ فیثاغورس برابر ۳/۲√ بـه دست مـی‌آید. درون نتیجه:

سایر توابع مثلثاتی این زاویـه‌ها نیز با استفاده از رابطه‌های داده‌شده، محاسبه مـی‌شوند.

مقدار توابع مثلثاتی درون زاویـه‌های تند درون جدول زیر خلاصه شده‌است:

تابع ۰° ۱۵° (π/۱۲) ۳۰° (π/۶) ۴۵° (π/۴) ۶۰° (π/۳) ۹۰° (π/۲) سینوس ۰ (۳–۱√)۲√۴ ۱۲ √۲۲ √۳۲ ۱ کسینوس ۱ (۳+۱√)۲√۴ √۳۲ √۲۲ ۱۲ ۰ تانژانت ۰ ۳√-۲ √۳۳ ۱ ۳√ ∞+ کتانژانت ∞+ ۳√+۲ ۳√ ۱ √۳۳ ۰ سکانت ۱ (۳–۱√)۲√ ۲ ۲√ √۳۶ ∞+ کسکانت ∞+ (۳+۱√)۲√ ۲ ۲√ √۳۲ ۱

یکای اندازه‌گیری

واحد مقدار درجه ۰° ۳۰° ۴۵° ۶۰° ۹۰° ۱۸۰° ۲۷۰° ۳۶۰° رادیـان ۰ π۶ π۴ π۳ π۲ π ۳π۲ ۲π گراد ۰g ۱۰۰۳g ۵۰g ۲۰۰۳g ۱۰۰g ۲۰۰g ۳۰۰g ۴۰۰gدور ۰ ۱۱۲ ۱۸ ۱۶ ۱۴ ۱۲ ۳۴ ۱

چند یکای بی‌بعد به منظور اندازه‌گیری زاویـه وجود دارد.

• درجه: یکایی هست که از گذشتهٔ دور مورد استفاده قرار گرفته‌است. مقدار این یکا با تقسیم‌بندی یک دایره بـه ۳۶۰ قسمت مساوی بـه دست مـی‌آید. بـه بیـان دیگر، یک درجه برابر با زاویـهٔ روبرو بـه کمانی هست که اندازهٔ آن، ۱/۳۶۰ محیط دایره باشد.
• رادیـان: یکای مورد استفاده درون محاسبات مربوط بـه مثلثات است. یک رادیـان برابر با زاویـهٔ روبرو بـه کمانی هست که طول آن برابر با طول شعاع دایره متناظر باشد. طبق این تعریف، یک دایرهٔ کامل برابر ۲π رادیـان (۶٫۲۸۳۲ رادیـان) است.[۱۶][۱۷]
• گراد: یک دایرهٔ کامل ۴۰۰ گراد است. بـه بیـان دیگر، گراد یک‌صدم ربع دایره است. کاربرد عمدهٔ گراد درون محاسبات نقشـه‌برداری است.[۱۸]
• دور: یک دور معادل یک دایرهٔ کامل و برابر با ۳۶۰ درجه یـا ۲π رادیـان است.

در محاسبات ریـاضی کـه شامل توابع مثلثاتی هستند (مانند معادلات دیفرانسیل و انتگرال)، از یکای رادیـان استفاده مـی‌شود.[۱۵][۱۷]

تعریف بر پایـهٔ دایرهٔ واحد

شکل روبرو، یک دایرهٔ واحد را نشان مـی‌دهد کـه توابع مثلثاتی زاویـهٔ θ روی آن رسم شده‌اند. هنگامـی کـه شعاع OA با زاویـهٔ θ نسبت بـه محور افقی روی دایره زده شود، مـی‌توان مقدار توابع مثلثاتی را بـه صورت اندازهٔ پاره‌خط‌هایی مشخص بـه دست آورد. مقدار توابع سینوس وینوس با پاره‌خط‌هایی (به ترتیب بـه رنگ قرمز و آبی) روی دو محور اصلی مختصات رسم شده‌اند. بـه بیـان دیگر، تصویر پاره‌خط OA روی محور افقی برابر باینوس θ و تصویر آن روی محور عمودی برابر با سینوس θ است. اندازهٔ پاره‌خطی (به رنگ قهوه‌ای کمرنگ) کـه مماس بر دایره از نقطه A که تا محور افقی امتداد دارد، تانژانت θ است. امتداد همـین پاره‌خط از نقطه A که تا محور عمودی (به رنگ نارنجی) نیز کتانژانت θ را نشان مـی‌دهد. بـه همـین ترتیب، مـی‌توان مقدار سکانت وکانت زاویـهٔ θ را نیز محاسبه کرد.[۱۹]

در دایرهٔ واحد، امکان محاسبهٔ توابع مثلثاتی به منظور زاویـه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه نیز وجود دارد. مقدار توابع مثلثاتی به منظور هر زاویـه‌ای، بـه شکلی مشابه بالا تعیین مـی‌شود. علامت یک تابع بر پایـهٔ مقدار زاویـه درون دایرهٔ واحد بر پایـه جدول زیر بـه دست مـی‌آید:[۱۵][۲۰]

تابع ربع اول ربع دوم ربع سوم ربع چهارم سینوس
کسکانت + + – – کسینوس
سکانت + – – + تانژانت
کتانژانت + – + –

دوران

توابع مثلثاتی به منظور زاویـه‌های بزرگتر از °۹۰ را مـی‌توان با استفاده از روابط دوران پیرامون مرکز دایره بـه دست آورد. هم‌چنین زاویـه‌های کوچکتر از صفر با دوران پیرامون محور افقی قابل محاسبه هستند. جدول زیر، نشان‌دهنده این رابطه‌ها است:

دوران حول محور افقی[۲۱] دوران با زاویـهٔ π/۲[۲۰] دوران با زاویـهٔ π[۲۰] دوران با زاویـهٔ ۲π[۲۲]sin⁡(−θ)=−sin⁡θ{\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta } sin⁡(θ+π2)=+cos⁡θ{\displaystyle \sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\cos \theta } sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ{\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta } sin⁡(θ+2π)=+sin⁡θ{\displaystyle \sin(\theta +2\pi )=+\sin \theta } cos⁡(−θ)=+cos⁡θ{\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } cos⁡(θ+π2)=−sin⁡θ{\displaystyle \cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\sin \theta } cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ{\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta } cos⁡(θ+2π)=+cos⁡θ{\displaystyle \cos(\theta +2\pi )=+\cos \theta } tan⁡(−θ)=−tan⁡θ{\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta } tan⁡(θ+π2)=−cot⁡θ{\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta } tan⁡(θ+π)=+tan⁡θ{\displaystyle \tan(\theta +\pi )=+\tan \theta } tan⁡(θ+2π)=+tan⁡θ{\displaystyle \tan(\theta +2\pi )=+\tan \theta } cot⁡(−θ)=−cot⁡θ{\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta } cot⁡(θ+π2)=−tan⁡θ{\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta } cot⁡(θ+π)=+cot⁡θ{\displaystyle \cot(\theta +\pi )=+\cot \theta } cot⁡(θ+2π)=+cot⁡θ{\displaystyle \cot(\theta +2\pi )=+\cot \theta } sec⁡(−θ)=+sec⁡θ{\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } sec⁡(θ+π2)=−csc⁡θ{\displaystyle \sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\csc \theta } sec⁡(θ+π)=−sec⁡θ{\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta } sec⁡(θ+2π)=+sec⁡θ{\displaystyle \sec(\theta +2\pi )=+\sec \theta } csc⁡(−θ)=−csc⁡θ{\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } csc⁡(θ+π2)=+sec⁡θ{\displaystyle \csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\sec \theta } csc⁡(θ+π)=−csc⁡θ{\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta } csc⁡(θ+2π)=+csc⁡θ{\displaystyle \csc(\theta +2\pi )=+\csc \theta }

تعریف بر پایـهٔ انتگرال

تعریف تابع سینوس توسط مثلث قائم الزاویـه از نظر ریـاضی دقیق نیست، چرا کـه مفهوم زاویـه (یـا همان طول کمان درون دایرهٔ واحد) بـه صورت دقیق بیـان نشده‌است. تعریف دیگری را مـی‌توان براساس طول دقیق کمان یک دایره بـه دست آورد. با درون نظر گرفتن معادلهٔ دایره y=1−x2{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}} و پیدا طول قوس، مـی‌توان رابطهٔ بین یک زاویـه θ{\displaystyle \theta } و sin⁡θ{\displaystyle \sin \theta } را برحسب معادلهٔ ضمنی زیر نوشت:[۲۳][۲۴]

که درون آن θ زاویـه‌ای درون محدودهٔ 0≤θ≤π/2{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2} است.

تعریف بر پایـهٔ سری توانی

با استفاده از سری مکلورن هر تابع پیوسته‌ای را مـی‌توان بـه صورت یک سری توانی حول نقطه صفر (به شکل رابطه زیر) نوشت:[۲۵]

ضریب‌های رابطهٔ بالا با معلوم بودن مقدار تابع و مشتق‌های آن درون نقطه صفر، قابل محاسبه هستند؛ بنابراین مـی‌توان مقدار تقریبی یک تابع را بـه صورت مجموع یک سری نامتناهی بـه دست آورد. درون محاسبات ریـاضی، از جمله‌های مرتبه بالا (که مرتبه بر اساس دقت محاسبه تعیین مـی‌شود) چشم‌پوشی مـی‌کنند.

سری توانی توابع مثلثاتی

سری توانی توابع مثلثاتی به منظور محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها مورد استفاده قرار مـی‌گیرد. درون ادامـه، سری‌های توانی توابع مثلثاتی آورده مـی‌شوند.[۲۶]

سری توانی سینوس وینوس

شکل روبرو، نمودار تابع سینوس و بسط مکلورن متناظر با آن را نشان مـی‌دهد. مقدار تابع سینوس درون نقطه صفر برابر صفر است؛ بنابراین جمله‌های زوج سری توانی سینوس (که شامل خود تابع و مشتقات مرتبه زوج آن مـی‌شوند) صفر هستند. درون نتیجه، سری توانی سینوس تنـها دارای جمله‌های با توان فرد خواهد بود.

به‌طور مشابه، جمله‌های فرد سری توانیینوس صفر هستند و این سری تنـها دارای جمله‌های با توان زوج است.

تعریف براساس سری توانی این مزیت را دارد کـه قابل استفاده درون اعداد مختلط هست و امکان مطالعهٔ خواص تحلیلی بودن این توابع را فراهم مـی‌سازد.[۲۳]

سری توانی سایر توابع مثلثاتی

توابع دیگر مثلثاتی، دارای نقطهٔ تکین درون دامنـه خود هستند؛ بنابراین نمـی‌توان سری توانی مکلورن آن‌ها را به منظور هر مقداری تعریف نمود. به منظور توابع تانژانت و سکانت کـه در π/۲ (یـا °۹۰) تعریف نمـی‌شوند، دامنـه تعریف سری توانی بین π/۲- که تا π/۲ است. هم‌چنین به منظور توابع کتانژانت وکانت کـه در صفر درجه تعریف نمـی‌شوند، دامنـه تعریف سری توانی بین صفر که تا π مـی‌باشد.

استفاده از سری‌های توانی

تعداد جملات سری‌های توانی کـه برای تقریب توابع بـه کار مـی‌روند، نامتناهی است؛ ولی درون محاسبات ریـاضی از تعداد محدودی از این جملات (بسته بـه دقت مورد نیـاز) استفاده مـی‌شود. سایر جملات کـه محاسبه نمـی‌شوند، جملهٔ باقی‌مانده یـا جملهٔ خطا نامـیده مـی‌شوند. جملهٔ خطای مرتبهٔ n به منظور یک سری بـه صورت زیر تعریف مـی‌شود:[۲۷]

Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1,a<c<x{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1},a<c<x}

با افزایش مقدار x، تعداد بیشتری از جملات به منظور رسیدن بـه یک دقت مشخص، مورد نیـاز خواهند بود و در نتیجه، سرعت همگرایی کاهش مـی‌یـابد. افزون بر این، توابع تانژانت، کتانژانت، سکانت وکانت دارای نقاط ناپیوستگی هستند و سری‌های توانی این توابع تنـها به منظور یک بازهٔ پیوسته تعریف شده‌اند.

برای جلوگیری از کند شدن همگرایی و رفع ناپیوستگی توابع، بایستی پیش از بهره گرفتن از سری‌ها زاویـه را که تا حد امکان کوچک کنیم. با بـه کار گرفتن اتحادهای مثلثاتی تبدیل زاویـه، مـی‌توان زاویـه را که تا بازهٔ (۰،π۲) و با استفاده از اتحادهای زاویـه متمم که تا (۰،π۴) کاهش داد. بـه این ترتیب، سرعت همگرایی سری و کارایی محاسبه، افزایش مـی‌یـابد.[۲۸]

تعریف توسط معادله دیفرانسیل

یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم با ضرایب ثابت، بـه صورت زیر نوشته مـی‌شود:

پاسخ این معادله، تابع نمایی بـه صورت y=A1em1x+A2em2x هست که درون آن، m1 و m2 ریشـه‌های معادلهٔ مشخصهٔ معادله (یعنی am2+bm+c=۰) هستند. هم‌چنین A1 و A2 ثابت‌های انتگرال‌گیری هست که بر پایـهٔ شرایط اولیـه بـه دست مـی‌آیند.

اگر معادلهٔ مشخصه دارای ریشـه‌های مختلط باشد، پاسخ عمومـی آن شامل تابع نمایی با توان مختلط است:

که درون آن، α جزء حقیقی و β جزء موهومـی ریشـهٔ معادلهٔ مشخصه هستند. بر پایـهٔ فرمول اویلر، تابع نمایی مختلط بـه توابع سینوس وینوس تبدیل مـی‌شود؛ بنابراین درون صورت داشتن ریشـه‌های مختلط، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل شامل توابع مثلثاتی خواهد بود:[۲۹]

برای نمونـه، هر دو تابع سینوس وینوس درون معادله دیفرانسیل y"+y=۰ (با معادله مشخصه m2+1=۰ کـه ریشـه‌های آن i± هستند) صدق مـی‌کنند.[۳۰] یعنی هر دو، قرینـهٔ مشتق دوم خود هستند. بـه بیـان دیگر، این معادلهٔ دیفرانسیل، خانوادهٔ منحنی توابع سینوس وینوس را تعریف مـی‌کند.[۳۱]

در فضای دوبعدی V، نوع تابع بر پایـه شرایط اولیـه بـه صورت زیر تعیین مـی‌شود:

• اگر (y′(0),y(0))=(1,0){\displaystyle \left(y'(0),y(0)\right)=(1,0)}؛ سینوس، پاسخ یکتای معادله است؛
• اگر (y′(0),y(0))=(0,1){\displaystyle \left(y'(0),y(0)\right)=(0,1)}؛ینوس، پاسخ یکتای معادله است.

از آن‌جایی کـه سینوس وینوس، دو تابع مستقل خطی هستند، با یکدیگر تابع پایـهٔ V را تشکیل مـی‌دهند. این روش تعریف توابع سینوس وینوس، معادل با استفاده از فرمول اویلر است.

هم‌چنین تابع تانژانت، پاسخ یکتای معادلهٔ دیفرانسیل غیرخطی y′=1+y2{\displaystyle y'=1+y^{2}} با شرط اولیـه y(0) = ۰ است.

ویژگی‌های توابع مثلثاتی

زوج و فرد بودن

بر پایـهٔ تعریف توابع مثلثاتی و دایرهٔ واحد، مـی‌توان زوج یـا فرد بودن هر تابع مثلثاتی را تعیین نمود. به‌طور خلاصه:[۲۱]

• کسینوس و سکانت، تابع زوج هستند. (برای نمونـه، cos(-x)=cos(x))
• سینوس، تانژانت، کتانژانت وکانت، تابع فرد هستند. (برای نمونـه، sin(-x)=-sin(x))

تناوب

از تعریف دایرهٔ مثلثاتی و هم‌چنین درون جدول بالا مشاهده مـی‌شود کـه توابع مثلثاتی با یک تناوب مشخص، تکرار مـی‌شوند. این تناوب به منظور توابع تانژانت و کتانژانت، °۱۸۰ و برای سایر توابع مثلثاتی، °۳۶۰ است.[۲۱][۳۲] به منظور نمونـه، تناوب توابع سینوس و تانژانت بـه صورت رابطهٔ زیر است:

در تبدیل فوریـه[۳۳] و معادلات موج[۳۴] از این خاصیت تناوبی توابع مثلثاتی درون حل معادلات دیفرانسیل استفاده مـی‌کنند.

پیوستگی

توابع سینوس وینوس همواره پیوسته و مشتق‌پذیر هستند. این مطلب، با تعریف بر پایـهٔ مثلث قائم‌الزاویـه و تعریف بر پایـهٔ دایره واحد، بـه روشنی قابل ملاحظه است. سایر تابع‌ها کـه در مخرجشان یکی از دو تابع سینوس یـاینوس قرار دارد، همواره پیوسته نیستند. زیرا مقدار توابع سینوس وینوس درون برخی نقاط برابر صفر است. نقاط ناپیوستگی توابع مثلثاتی بـه صورت زیر هستند (k یک عدد صحیح دلخواه است):[۱۵]

• تانژانت وکانت: kπ
• کتانژانت و سکانت: kπ+π/۲

تعامد

توابع سینوس وینوس برهم عمود هستند و در معادله اشتورم-لیوویل صدق مـی‌کنند.

همچنین داریم:

از این خواص درون محاسبهٔ ضرایب سری فوریـه استفاده مـی‌شود.[۲۳][۳۵]

مشتق و انتگرال توابع مثلثاتی

مشتق دو تابع مثلثاتی اصلی (سینوس وینوس) با استفاده از تعریف مشتق، بـه دست مـی‌آید. به منظور مشتق‌گیری سایر توابع مثلثاتی مـی‌توان از قاعدهٔ مشتق‌گیری تابعری بهره برد. مشتق اول و دوم توابع مثلثاتی بـه همراه تابع اولیـه (انتگرال) آن‌ها بـه صورت زیر است:

تابع مشتق اول[۳۶] مشتق دوم مشتق n-ام[۳۷] انتگرال[۳۸]sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)} cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)} −sin⁡(x){\displaystyle -\sin(x)} (−1)n.sin⁡(x+nπ2){\displaystyle (-1)^{n}.\sin(x+{\frac {n\pi }{2}})} −cos⁡(x){\displaystyle -\cos(x)} cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)} −sin⁡(x){\displaystyle -\sin(x)} −cos⁡(x){\displaystyle -\cos(x)} (−1)n.cos⁡(x+nπ2){\displaystyle (-1)^{n}.\cos(x+{\frac {n\pi }{2}})} sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)} tan⁡(x){\displaystyle \tan(x)} sec2⁡(x){\displaystyle \sec ^{2}(x)} 2sec2⁡(x).tan⁡(x){\displaystyle 2\sec ^{2}(x).\tan(x)} پیچیده[۳۹] −ln⁡|cos⁡(x)|{\displaystyle -\ln |\cos(x)|} cot⁡(x){\displaystyle \cot(x)} −csc2⁡(x){\displaystyle -\csc ^{2}(x)} 2csc2⁡(x).cot⁡(x){\displaystyle 2\csc ^{2}(x).\cot(x)} پیچیده[۳۹] ln⁡|sin⁡(x)|{\displaystyle \ln |\sin(x)|} sec⁡(x){\displaystyle \sec(x)} sec⁡(x).tan⁡(x){\displaystyle \sec(x).\tan(x)} sec⁡(x)(sec2⁡(x)+tan2⁡(x)){\displaystyle \sec(x)(\sec ^{2}(x)+\tan ^{2}(x))} پیچیده[۳۹] ln⁡|sec⁡(x)+tan⁡(x)|{\displaystyle \ln |\sec(x)+\tan(x)|} csc⁡(x){\displaystyle \csc(x)} −csc⁡(x).cot⁡(x){\displaystyle -\csc(x).\cot(x)} csc⁡(x)(csc2⁡(x)+cot2⁡(x)){\displaystyle \csc(x)(\csc ^{2}(x)+\cot ^{2}(x))} پیچیده[۳۹] −ln⁡|csc⁡(x)+cot⁡(x)|{\displaystyle -\ln |\csc(x)+\cot(x)|} تبدیل‌های لاپلاس و فوریـه

تبدیل لاپلاس یکی از روش‌های حل معادلات دیفرانسیل است. تبدیل لاپلاس توابع سینوس وینوس بـه صورت زیر است:[۴۰]

• تبدیل سینوس:

• تبدیلینوس:

تبدیل فوریـهٔ تابع‌های سینوس وینوس نیز بـه صورت زیر است:[۴۱]

• تبدیل سینوس:

• تبدیلینوس:

که درون این روابط δ(⋅){\displaystyle \delta (\cdot )} نشان‌دهندهٔ تابع دلتای دیراک است.

تابع ویژه

توابع سینوس وینوس یک تابع ویژه به منظور لاپلاسین هستند. بـه عنوان مثال، اگر ∇2{\displaystyle \nabla ^{2}} بیـانگر عملگر لاپلاس یک بعدی باشد، توابع سینوس وینوس درون معادلهٔ ∇2f=λf{\displaystyle \nabla ^{2}f=\lambda f} صدق مـی‌کنند کـه با توجه بـه تعریف توسط معادله دیفرانسیل توابع مثلثاتی قابل بررسی است.[۴۲]

روش‌های محاسبه

محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی بـه صورت دستی، پیچیده‌است؛ ولی امروزه بـه دلیل درون دسترس بودن رایـانـه‌ها و ماشین حساب‌های مـهندسی، کـه مقدار مورد نیـاز را به منظور هر زاویـه‌ای بـه سادگی بـه دست مـی‌آورند، پیچیدگی آن از بین رفته‌است. سه روش متداول به منظور محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی مورد استفاده هست که عبارتند از بهره‌گیری از مقدارهای دقیق، روش سنتی جدول‌های مثلثاتی و روش نوین بهره‌گیری از رایـانـه.

برای بعضی از زاویـه‌ها مـی‌توان مقدار دقیق توابع مثلثاتی را بـه دست آورد. به منظور نمونـه، به منظور همـه زاویـه‌های ضریب °۳ مقدار توابع سینوس،ینوس و تانژانت بـه صورت دقیق وجود دارد. نسبت‌های مثلثاتی زاویـه °۳ با اعمال رابطه تفاضل دو زاویـه به منظور زاویـه‌های °۱۸ و °۱۵ محاسبه مـی‌شوند (۳=۱۵–۱۸). نسبت‌های مثلثاتی °۱۸ درجه با بهره‌گیری از پنج‌ضلعی منتظم بـه دست مـی‌آیند. به منظور محاسبه نسبت‌های مثلثاتی °۱۵ نیز مـی‌توان از اعمال رابطه نصف زاویـه به منظور زاویـه °۳۰ استفاده کرد. بعد از محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویـه °۳، مـی‌توان مقادیر مربوط بـه زاویـه‌هایی کـه ضریب آن هستند را با استفاده از روابط جمع دو زاویـه و زاویـه دو برابر، بـه دست آورد.

برای محاسبهٔ مقدار تابع به منظور هر زاویـه‌ای، نخست حتما زاویـه را بـه یک بازه مشخص (مثلاً صفر که تا π/۲) کاهش داد. این کار با استفاده از خاصیت تناوب و تقارن توابع مثلثاتی انجام مـی‌شود.[۲۸]

پیش از رایـانـه‌ها، مردم عموماً مقدار توابع مثلثاتی را با درون‌یـابی از داده‌های موجود درون جدول‌های مثلثاتی بـه دست مـی‌آوردند. این جدول‌ها پیشینـه‌ای بـه دیرینگی تاریخ مثلثات دارند. معمولاً مقدارهای موجود درون جدول‌ها با استفادهٔ پیـاپی از اتحادهای نصف زاویـه و مجموع دو زاویـه، با آغاز از یک مقدار معلوم (مانند sin(π/۲) = ۱) بـه دست مـی‌آمدند. به منظور نمونـه، مـی‌توان جداول مثلثاتی سینوس وینوس خوارزمـی را نام برد.[۵]

رایـانـه‌های نوین، شیوه‌های گوناگونی را بـه کار مـی‌گیرند.[۴۳] یک روش متداول، بـه ویژه روی پردازنده‌های سطح بالا، ترکیب یک تقریب چندجمله‌ای یـاری (مانند تقریب چبیشف، تقریب پد و معمولاً به منظور دقت‌های بالاتر، سری تیلور و مکلورن) با کاهش بازه و نگاه بـه جدول است. (با استفاده از جدول، نزدیک‌ترین زاویـه انتخاب مـی‌شود، سپس تصحیح با بهره‌گیری از چندجمله‌ای انجام مـی‌شود) دستگاه‌های دارای دقت پایین‌تر، معمولاً از الگوریتم CORDIC سود مـی‌برند کـه تنـها از جمع، تفریق، شیفت بیتی و نگاه بـه جدول استفاده مـی‌کند.

برای محاسبات بسیـار دقیق، کـه سری‌ها بـه کندی همگرا مـی‌شوند، مـی‌توان از مـیانگین حسابی-هندسی به منظور تقریب استفاده کرد کـه تابع مثلثاتی را با انتگرال بیضوی تقریب مـی‌زند.[۴۴]

اتحادهای مثلثاتی

بعضی از رابطه‌های مثلثاتی به منظور هر زاویـهٔ دلخواهی برقرار هستند. این رابطه‌ها را اتحاد مثلثاتی مـی‌نامند. نمونـه‌هایی از این اتحادها درون زیر آورده مـی‌شوند.

قضیـهٔ فیثاغورس

ساده‌ترین شکل قضیـهٔ فیثاغورس درون مثلثات بـه صورت زیر است:[۴۵]

جمع و تفاضل دو زاویـه

کسینوس حاصل جمع:[۴۶]

سینوس حاصل جمع:[۴۷]

زاویـهٔ دو برابر

رابطه‌های زیر به منظور محاسبهٔ سینوس وینوس زاویـه‌ای دو برابر زاویـهٔ معلوم بـه کار مـی‌روند:[۴۸]

قضیـهٔ فشردگی سینوس

یک نابرابری مـهم مثلثاتی، درون محاسبهٔ حدهای مبهم و مشتق توابع مثلثاتی کاربرد دارد. این نابرابری کـه در بازهٔ -π۲<θ<π۲ معتبر است، بـه صورت زیر است:[۴۹]

با استفاده از این نابرابری، حد مبهم sin θθ درون θ→۰ پیدا مـی‌شود.[۵۰] این حد درون محاسبهٔ مشتق توابع مثلثاتی مورد استفاده قرار مـی‌گیرد.[۵۱]

نابرابری‌هایی مشابه بـه شرح زیرند:[۵۲]

قانون سینوس‌ها

با استفاده از قانون سینوس‌ها درون هر مثلث دلخواه، مـی‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویـهٔ مجاور آن، اندازهٔ دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. هم‌چنین مـی‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایرهٔ محیطی آن (R) را بـه دست آورد:[۵۳]

بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویـهٔ مـیان آن‌ها از رابطهٔ زیر، قابل محاسبه است:

قانونینوس‌ها

با استفاده از قانونینوس‌ها درون هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویـهٔ مـیان آن‌ها، اندازهٔ ضلع سوم بـه صورت زیر تعیین مـی‌شود:[۵۴]

هم‌چنین با این قانون مـی‌توان با داشتن اندازهٔ سه ضلع مثلث، اندازهٔ زاویـه‌های آن را بـه دست آورد.

رابطه توابع مثلثاتی با توابع خاص

بعضی از توابع خاص را مـی‌توان بـه صورت ترکیبی از توابع از جمله توابع مثلثاتی نوشت.

• تابع بسل مرتبهٔ ۱/۲: تابع بسل، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم زیر است:

که a مرتبهٔ آن را نشان مـی‌دهد. حل این معادله، بـه صورت سری توانی است. مـی‌توان یکی از حالت‌های خاص تابع بسل (a=۱۲) را برحسب توابع مثلثاتی بـه صورت زیر نوشت:[۵۵]

• چندجمله‌ای چبیشف: چندجمله‌ای چبیشف، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم زیر است:

که n مرتبهٔ آن را نشان مـی‌دهد. مـی‌توان چندجمله‌ای چبیشف مرتبهٔ n را برحسب توابع مثلثاتی بـه صورت زیر نوشت:[۵۶]

تابع معکوس

توابع معمثلثاتی بـه عنوان قرینـهٔ توابع مثلثاتی نسبت بـه خط y=x تعریف مـی‌شوند. این تابع‌ها را با افزودن آرک بـه ابتدای نام تابع اصلی، معرفی مـی‌کنند. این تابع‌ها یک عدد حقیقی را مـی‌گیرند و یک زاویـه را برمـی‌گردانند.

توابع مثلثاتی درون همـهٔ دامنـهٔ خود، یک‌به‌یک و معکوس‌پذیر نیستند. به منظور آن کـه بتوان تابع معبرای این توابع تعریف نمود، حتما تابع بـه دامنـه‌ای کـه در آن معکوس‌پذیر است، محدود شود. این دامنـه، به منظور توابع مختلف بـه صورت جدول زیر است. افزون بر این، مشتق توابع معمثلثاتی کـه با روش مشتق‌گیری ضمنی بـه دست مـی‌آید، درون جدول آورده شده‌است.[۵۷]

تابع اصلی دامنـهٔ تابع اصلی تابع معکوس دامنـهٔ تابع معکوس مشتق تابع معکوس[۵۸]sin⁡y=x{\displaystyle \sin y=x\,} −π2≤y≤π2{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\,} arcsin⁡x=y{\displaystyle \arcsin x=y\,} −1≤x≤1{\displaystyle -1\leq x\leq 1\,} 11−x2{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} cos⁡y=x{\displaystyle \cos y=x\,} 0≤y≤π{\displaystyle 0\leq y\leq \pi \,} arccos⁡x=y{\displaystyle \arccos x=y\,} −1≤x≤1{\displaystyle -1\leq x\leq 1\,} −11−x2{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} tan⁡y=x{\displaystyle \tan y=x\,} −π2<y<π2{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\,} arctan⁡x=y{\displaystyle \arctan x=y\,} اعداد حقیقی 11+x2{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}} csc⁡y=x{\displaystyle \csc y=x\,} −π2≤y≤π2,y≠0{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0\,} arccsc⁡x=y{\displaystyle \operatorname {arccsc} x=y\,} اعداد حقیقی −11+x2{\displaystyle {\frac {-1}{1+x^{2}}}} sec⁡y=x{\displaystyle \sec y=x\,} 0≤y≤π,y≠π2{\displaystyle 0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}}\,} arcsec⁡x=y{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=y\,} 1≤xorx≤−1{\displaystyle 1\leq x\,or\,x\leq -1\,} 1x21−x−2{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-x^{-2}}}}}} cot⁡y=x{\displaystyle \cot y=x\,} 0<y<π{\displaystyle 0<y<\pi \,} arccot⁡x=y{\displaystyle \operatorname {arccot} x=y\,} 1≤xorx≤−1{\displaystyle 1\leq x\,or\,x\leq -1\,} −1x21−x−2{\displaystyle {\frac {-1}{x^{2}{\sqrt {1-x^{-2}}}}}}

کاربرد

توابع مثلثاتی کاربردهای قابل توجهی درون بسیـاری از علوم پایـه و مـهندسی دارند.

فضای برداری

در ریـاضیـات و فیزیک، از بردارها به منظور نشان یک کمـیت برداری (که دارای اندازه و جهت است) استفاده مـی‌شود. بسیـاری از کمـیت‌های اصلی فیزیک مانند مکان، نیرو و مـیدان دارای ماهیت برداری هستند. درون برخی محاسبات فضای برداری از توابع مثلثاتی استفاده مـی‌شود. به منظور نمونـه، ضرب داخلی دو بردار x و y را مـی‌توان بـه کمک قانونینوس‌ها بـه صورت زیر محاسبه کرد:[۵۹]

برای محاسبه ضرب خارجی نیز مـی‌توان رابطه زیر را بـه کار برد:

مختصات قطبی، استوانـه‌ای و کروی

توابع مثلثاتی، پایـهٔ تعریف دستگاه مختصات قطبی هستند کـه در ساده‌سازی بسیـاری از مسائل ریـاضیـات و فیزیک از جمله برخی انتگرال‌ها مؤثر است. درون این دستگاه مختصات، بـه جای طول و عرض (x,y) یک نقطه (که درون دستگاه مختصات دکارتی بـه کار مـی‌رود)، فاصلهٔ آن با مرکز و زاویـهٔ بردار گذرنده از مرکز و آن نقطه نسبت بـه خط افقی (r,θ) بـه عنوان مختصات یک نقطه درون نظر گرفته مـی‌شوند.[۶۰] تبدیل مختصات دکارتی بـه مختصات قطبی و برعبا استفاده از توابع مثلثاتی انجام مـی‌شود:[۶۱]

دستگاه‌های مختصات استوانـه‌ای[۶۲] و کروی[۶۳] کـه تعمـیم‌یـافتهٔ مختصات قطبی درون سه‌بعد هستند نیز بر مبنای توابع مثلثاتی شکل گرفته‌اند. از این دستگاه‌ها درون مسائلی مانند انتگرال‌های سه‌بعدی کـه دارای تقارن استوانـه‌ای یـا کروی هستند استفاده مـی‌شود.

اعداد مختلط

با استفاده از تعریف مختصات قطبی مـی‌توان اعداد مختلط را بـه صورت توابع مثلثاتی بیـان کرد:[۶۴]

که درون آن، |z| اندازهٔ بردار z (فاصله از مبدأ)، θ زاویـهٔ آن با محور افقی، و i بیـانگر یکهٔ موهومـی است. افزون بر این، رابطهٔ مـیان تابع نمایی و تابع مثلثاتی توسط فرمول اویلر برقرار مـی‌شود:[۶۵]

که بر پایـهٔ آن، توابع سینوس وینوس بـه شکل توابع فرد و زوج متناظر بر حسب تابع نمایی نوشته مـی‌شوند:

مشاهده مـی‌شود کـه مـی‌توانینوس را بـه عنوان جزء حقیقی و سینوس را بـه عنوان جزء مجازی تابع نمایی مختلط درون نظر گرفت. بـه بیـان ریـاضی:

شکل توسعه‌یـافتهٔ فرمول اویلر، بـه عنوان فرمول دموآور شناخته مـی‌شود:[۶۶]

هم‌چنین با استفاده از تعریف بسط مکلورن به منظور توابع هذلولوی و مثلثاتی، مـی‌توان رابطه‌های زیر را کـه معادل با رابطه‌های بالا هستند، بـه دست آورد:

که درون آن‌ها i2=−۱. مـی‌توان توابع سینوس وینوس مختلط را برحسب اجزای حقیقی و مجازی آن‌ها نیز نوشت:[۶۷]

این اتحاد، رابطهٔ مـیان توابع سینوس وینوس مختلط و توابع حقیقی (سینوس وینوس) و حقیقی هذلولوی (سینوس هذلولوی وینوس هذلولوی) آن‌ها را نشان مـی‌دهد.

نقشـه‌برداری

مثلثات، پایـهٔ بیشتر شیوه‌های نقشـه‌برداری است. زاویـه‌یـابی با دستگاه یـا بدون دستگاه، امتدادیـابی با روش ژیزمان، سیستم تصویر به منظور تبدیل تصویر از سطح بیضوی بـه سطح مستوی، ارتفاع‌یـابی با دستگاه ترازیـاب، پیمایش باز و بسته، طراحی قوس‌ها درون راهسازی و تبدیل‌های دوبعدی درون نقشـه‌برداری هوایی، بخشی از کاربردهای توابع مثلثاتی درون نقشـه‌برداری هستند.

برای نمونـه، درون مثلث‌سازی کـه یکی از روش‌های قدیمـی نقشـه‌برداری است، با استفاده از اندازه‌گیری زاویـهٔ یک نقطه نسبت بـه دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه مـی‌کنند کـه امروزه از این روش به منظور اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده مـی‌شود. درون مثلث‌سازی از قانونینوس‌ها و قانون سینوس‌ها به منظور محاسبهٔ زاویـهٔ مثلث‌ها و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه استفاده مـی‌شود.

پیمایش روشی به منظور نقشـه‌برداری یک محدودهٔ باز یـا بسته با استفاده از اندازه‌گیری زاویـه‌ها و فاصله‌ها است. از توابع مثلثاتی به منظور محاسبهٔ موقعیت ایستگاه‌ها استفاده مـی‌شود.[۶۸]

ناوبری

از توابع مثلثاتی درون زمـینـه‌های مختلف ناوبری استفاده مـی‌شود. به منظور نمونـه، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایـهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریـایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام مـی‌شود.[۶۹] هم‌چنین این توابع به منظور تعیین فاصلهٔ مـیان دو نقطه روی زمـین با درون نظر گرفتن کرویت زمـین بـه کار مـی‌روند. رابطهٔ زیر به منظور محاسبهٔ این فاصله مورد استفاده قرار مـی‌گیرد:

که درون آن، α۱ و α۲ عرض جغرافیـایی دو نقطهٔ مورد نظر و φ اختلاف طول جغرافیـایی مـیان دو نقطه است.[۷۰]

فیزیک نور

بنیـادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی درون نورشناسی، قانون اسنل است. این قانون کـه در پدیدهٔ شکست نور بـه کار مـی‌رود، رابطهٔ مـیان زاویـهٔ نور درون یک محیط و زاویـهٔ آن بعد از وارد شدن بـه یک محیط دیگر با ضریب شکست متفاوت را بیـان مـی‌کند:

که درون آن، n و 'n ضریب شکست و θ و 'θ زاویـهٔ پرتو نور محیط اول و دوم هستند. قانون اسنل، درون تعیین زاویـهٔ حد شکست و نیز درون شکست نور درون منشورها و عدسی‌ها بـه کار مـی‌رود. مسیر حرکت نور درون عبور از یک عدسی با استفاده از قانون اسنل تعیین مـی‌شود.

افزون بر شکست نور، از توابع مثلثاتی درون زمـینـه‌های دیگری از نورشناسی مانند تحلیل تداخل امواج، قطبیدگی و پراش درون دو شکاف استفاده مـی‌شود.[۷۱]

سری فوریـه و تبدیل فوریـه

توابع سینوس وینوس مانند چندجمله‌ای‌ها متعامد هستند و استقلال خطی دارند. از این رو مـی‌توان هر تابع (عموماً متناوب) را بر حسب یک سری از این توابع بـه صورت رابطهٔ زیر نوشت[۳۳] کـه سری فوریـه نامـیده مـی‌شود:[۷۲]

برای توابع فرد، تنـها جملات تابع سینوس و برای توابع زوج، تنـها جملات تابعینوس و ضریب ثابت درون نظر گرفته مـی‌شوند.[۷۳]

تبدیل فوریـه، نوعی تبدیل انتگرالی هست که شکل توسعه یـافتهٔ سری فوریـه است. این تبدیل بـه صورت زیر تعریف مـی‌شود:[۷۴]

که تابع نمایی با نمای مختلط توسط فرمول اویلر بـه توابع مثلثاتی تبدیل مـی‌شود. از تبدیل فوریـه درون حل معادلات دیفرانسیل جزئی از جمله معادلهٔ موج، تحلیل طیفی و پردازش سیگنال بهره مـی‌برند.[۷۵]

هم‌چنین درون ذخیره‌سازی تصویر با قالب JPEG از تبدیلینوس گسسته به منظور کاهش حجم تصویر با وجود حفظ نسبی کیفیت آن استفاده مـی‌کنند. درون این روش، تصویر بـه بلوک‌هایی با ابعاد یکسان تقسیم مـی‌شود و در هر بلوک، ضرایب چند جملهٔ نخست تبدیل فوریـه (که تعداد جمله‌ها بر پایـهٔ دقت تبدیل، انتخاب مـی‌شود) بر پایـهٔ رنگ همـهٔ نقطه‌های درون بلوک محاسبه مـی‌شوند.[۷۶]

حرکت نوسانی

فیزیک‌دانان به منظور توصیف حرکت هماهنگ ساده، از توابع سینوس وینوس استفاده مـی‌کنند. این حرکت، بسیـاری از پدیده‌های فیزیکی مانند حرکت جرم متصل بـه فنر،[۷۷] حرکت آونگی جسم معلق با یک طناب (پاندول ساده)،[۷۸] تحلیل مدار الکتریکی[۷۹] و حرکت دایره‌ای یکنواخت یک‌بعدی را مدل مـی‌کند. هم‌چنین توابع مثلثاتی درون مطالعهٔ توابع متناوب بـه کار مـی‌روند. ساختار موجی‌شکل توابع متناوب به منظور مدل‌سازی پدیده‌های رفت و برگشتی مانند نور، صدا و موج دریـا، مورد استفاده قرار مـی‌گیرد.

در شرایط عمومـی، مـی‌توان یک تابع متناوب (f(x را با سری فوریـه بـه صورت مجموع موج‌های سینوسی یـا موج‌هایینوسی بیـان کرد. اگر تابع سینوس یـاینوس را با φk نشان دهیم، بسط تابع متناوب (f(t بـه صورت زیر خواهد بود (از آن‌جایی کـه توابع متناوب عموماً بر حسب زمان تعریف مـی‌شوند، درون این‌جا بـه جای متغیر مکانی (x) از متغیر زمانی (t) استفاده مـی‌شود):

برای نمونـه، موج مربعی را مـی‌توان با سری فوریـه زیر نشان داد:

همان گونـه کـه در شکل روبرو دیده مـی‌شود، چند جملهٔ اول سری مـی‌توانند تقریب نسبتاً خوبی را ایجاد کنند.

فیزیک مکانیک

در فیزیک مکانیک، توابع مثلثاتی درون معادلات حرکت دوبعدی و سه‌بعدی کاربرد دارند. به منظور نمونـه، درون تحلیل تغییرات تناوبی درون سینماتیک و دینامـیک دورانی، معادلات تکانـه و تکانـهٔ زاویـه‌ای و پدیدهٔ برخورد، توابع مثلثاتی کاربرد دارند.[۵۹]

یکی از آشناترین کاربردهای توابع مثلثاتی درون مکانیک، پدیدهٔ حرکت پرتابی هست که معادلات حرکت افقی و قائم آن بـه صورت زیر نوشته مـی‌شود:

که درون آن، x و y مختصات موقعیت ذره درون مدت t ثانیـه بعد از پرتاب با سرعت اولیـهٔ v0 هستند.

هم‌چنین مسیر و سرعت دو ذره بعد از برخورد کشسان مایل، با استفاده از توابع مثلثاتی بـه دست مـی‌آید.